曲线积分

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1. 向量场

函数 \(z=f(x,y)\) 定义了一个标量场，\((x,y)\) 对应了一个标量 \(f(x,y)\)；而向量场是在每一点处定义了一个向量，形如 \(\boldsymbol{F}(x,y) = \langle{M(x,y),N(x,y)}\rangle\)．

2. 环量积分

2.1 理解

将向量场看作是力，曲线积分可以看作是沿路径做功的总和。我们取位移向量的微元 \(d\boldsymbol{r}\) 与力 \(\boldsymbol{F}\) 的点积 \(\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}\) 就是沿路径做功的微元，将其积分得到总功：

\[ W = \int_C \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} \]

2.2 计算

2.2.1 参数方程

如果给定路径可以用参数方程 \(x=x(t), y=y(t), a\le t \le b\) 来表示，则 \(\boldsymbol{F} = \langle{M(x(t),y(t)),N(x(t),y(t))}\rangle,d\boldsymbol{r} = \langle{x'(t),y'(t)}\rangle dt\)，因此线积分可以转化为关于 \(t\) 的单变量积分．

例：\(\boldsymbol{F} =-y\hat{i} + x\hat{j}\)，\(C\) 由 \(x=t,y=t^2, 0\le t \le 1\) 确定，则其曲线积分为

\[ \int_C \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} = \int_0^1\langle{-t^2,t}\rangle \cdot\langle{1,2t}\rangle dt = \int_0^1(-t^2 + 2t^2) dt = \int_0^1 t^2 dt = \frac{1}{3}. \]

2.2.2 直角坐标

由于 \(d\boldsymbol{r} = \langle{dx,dy}\rangle\)，因此曲线积分可以写成

\[ \int_C \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} = \int_C M dx + N dy. \]

2.2.3 几何转换

由于 \(d\boldsymbol{r} = \hat{T} ds\)，当 \(\boldsymbol{F}\cdot \hat{T}\) 为常数 \(a\) 时，曲线积分可以简化成

\[ \int_C \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} = \int_C a\, ds = a \cdot \mathrm{Length}(C). \]

例：\(\boldsymbol{F} = -y\hat{i} + x\hat{j}\)，\(C\) 由 \(x^2 + y^2 = a^2\) 确定，则 \(\boldsymbol{F}\cdot \hat{T} = |\boldsymbol{F}| = a\)，因此 \(C\) 逆时针一圈的曲线积分为

\[ \int_C \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} = a \cdot \mathrm{Length}(C) = a \cdot 2\pi a = 2\pi a^2. \]

3. 梯度场

3.1 概念

对于向量场 \(\boldsymbol{F}\)，如果 \(\exists f\,\, \mathrm{s.t.}\,\, \boldsymbol{F} = \nabla f\)，则称 \(\boldsymbol{F}\) 为梯度场，或称保守场．

3.2 性质

3.2.1 路径无关

回忆牛顿-莱布尼茨公式：\(f(b)-f(a) = \displaystyle\int_a^b f'(x) dx\)，由于 \(f'(x)\) 是 \(f(x)\) 的导数，在单变量下可看作 \(f'(x) = \nabla f\)．

将情况上升到二元，对于梯度场 \(\boldsymbol{F} = \nabla f\)，引入参数 \(t\)，我们有

\[ \begin{aligned} \int_C \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} &= \int_C \nabla f \cdot d\boldsymbol{r} \\&= \int_C\langle f_x,f_y \rangle \cdot \langle dx,dy \rangle \\&= \int_C \left(f_xdx+f_ydy\right) \\&= \int_{t_0}^{t_1}\left(f_x\frac{dx}{dt}+f_y\frac{dy}{dt} \right)dt \\&= \int_{t_0}^{t_1} \frac{df}{dt} dt \\&= f(x(t_1),y(t_1)) - f(x(t_0),y(t_0)) \end{aligned} \]

因此对于梯度场 \(\boldsymbol{F} = \nabla f\)，曲线积分 \(\displaystyle\int_C \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}\) 的值只与路径 \(C\) 的起点和终点有关，而与路径的具体形状无关．

3.2.2 闭合曲线积分为 \(0\)

对于闭合曲线 \(C\)，由于起点和终点重合，根据路径无关，我们选择任意一个点作为路径，该点的曲线积分为 \(0\)，与 \(C\) 的曲线积分结果相同，因此 \(C\) 的曲线积分为 \(0\)．

后者亦可以推出前者：对于从 \(A\) 到 \(B\) 的两条路径 \(C_1\) 和 \(C_2\)，将 \(C_2\) 反向得到 \(-C_2\)，则 \(C_1\) 与 \(-C_2\) 围成一个闭合曲线．由于闭合曲线积分为 \(0\)，因此 \(\displaystyle\int_{C_1} \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} + \int_{-C_2} \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} = 0\)，又因为 \(\displaystyle\int_{-C_2} \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} = -\int_{C_2} \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}\)，因此 \(\displaystyle\int_{C_1} \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} = \int_{C_2} \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}\)．