重积分

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1. 二重积分

1.1 理解

在单变量积分中，我们可以将定积分 \(\displaystyle\int_a^b f(x) dx\) 看作函数 \(y=f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上与 \(x\) 轴围成的面积．在二重积分中，我们可以将 \(\displaystyle\iint_R f(x,y)\, dA\) 看作函数 \(z=f(x,y)\) 在区域 \(R\) 上与 \(xy\) 平面围成的体积；但如果用这种理解方式就难以形象理解三重积分，因此我们可以将 \(f(x,y)\) 看作一个“密度”，二重积分就是求区域 \(R\) 的总面质量．

1.2 计算

1.2.1 直角坐标

对于给定的区域 \(R\)，如果采用直角坐标系，面积微元可以用矩形近似，即 \(dA = dx\, dy\)；我们可以先固定住 \(x\)，求出在 \(x\) 给定的情况下 \(y\) 的积分，即 \(S(x) = \displaystyle\int f(x,y)dy\)；再对 \(x\) 进行积分，得到 \(\displaystyle\iint_R f(x,y)\, dxdy=\int_{x_{min}}^{x_{max}} S(x) dx\)，即

\[ \iint_R f(x,y)\, dxdy=\int_{x_{min}}^{x_{max}} \left( \int_{y_{min}}^{y_{max}} f(x,y) dy \right) dx \]

将二重积分转化为二次积分．

例1：计算 \(\displaystyle\iint_R (1 -x^2 - y^2) dA\)，其中 \(R\) 是 \(0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1\) 围成的区域．

\[ \begin{aligned} \iint_R (1 -x^2 - y^2) dA &= \int_0^1 \left( \int_0^1 (1 -x^2 - y^2) dy \right) dx \\ &= \int_0^1 \left[ y - x^2 y - \frac{y^3}{3} \right]_0^1 dx \\ &= \int_0^1 \left(1 - x^2 - \frac{1}{3} \right) dx \\ &= \int_0^1 \left( \frac{2}{3} - x^2\right) dx \\ &= \left[ \frac{2}{3}x - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 \\ &= \frac{1}{3}. \end{aligned} \]

例2：计算 \(\displaystyle\iint_R (1 - x^2 - y^2) dA\)，其中 \(R\) 是 \(x^2 + y^2 \le 1\) 在第一象限围成的区域．

\[ \begin{aligned} \iint_R (1 - x^2 - y^2) dA &= \int_{0}^1 \left( \int_{0}^{\sqrt{1-x^2}} (1 - x^2 - y^2) dy \right) dx \\ &= \int_{0}^1 \left[ y - x^2 y - \frac{y^3}{3} \right]_0^{\sqrt{1-x^2}} dx \\ &= \int_{0}^1 \left[ \sqrt{1-x^2} - x^2 \sqrt{1-x^2} - \frac{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}}{3} \right] dx \\ &=\frac{2}{3} \int_{0}^1 (1-x^2)^{\frac{3}{2}} dx \\ \end{aligned} \]

令 \(x=\sin{\theta}\)，则

\[ \begin{aligned} \frac{2}{3}\int_0^1(1-x^2)^{\frac{3}{2}} dx &= \frac{2}{3}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^3\theta \, d\sin \theta \\ &= \frac{2}{3}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos ^4\theta\, d\theta \\ &= \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \ \frac{\pi}{2}\\ &= \frac{\pi}{8}. \end{aligned} \]

例3：计算 \(\displaystyle\int_0^1 \int_x^{\sqrt x}\frac{e^y}{y}dy\, dx\)．

由于内部积分积不出，我们可以利用二重积分对 \(x,y\) 积分顺序不影响结果的性质，交换积分顺序．积分区域为 \(y=x\) 与 \(y=\sqrt x\) 在 \(x=0\) 和 \(x=1\) 围成的区域．交换积分顺序后，积分区域为 \(x=y^2\) 与 \(x=y\) 在 \(y=0\) 和 \(y=1\) 围成的区域．因此

\[ \begin{aligned} \int_0^1 \int_x^{\sqrt x}\frac{e^y}{y}dy\, dx &= \int_0^1 \int_{y^2}^{y} \frac{e^y}{y} dx\, dy \\ &= \int_0^1 \frac{e^y}{y}(y-y^2) dy \\ &= \int_0^1 e^y (1-y) dy \\ &= \left[ -ye^y+2e^y \right]_0^1 \\ &= e - 2. \end{aligned} \]

1.2.2 极坐标

上述例2中，积分区域 \(R\) 是一个圆，含有圆的积分通常可以使用极坐标计算化简．如图所示，在极坐标中，面积微元 \(\Delta A\) 在 \(\Delta r\) 和 \(\Delta \theta\) 足够小时可近似看作矩形，长宽分别为 \(r\Delta \theta\) 和 \(\Delta r\)，取极限 \(\Delta r,\Delta \theta \to 0\)，得到 \(dA = r\, dr\, d\theta\)．

一般来说，使用极坐标计算二重积分时先对 \(r\) 积分，因为 \(r\) 一般是被 \(\theta\) 表示的，对于给定的 \(\theta\)，\(r\in [r_{min}, r_{max}]\)；再对 \(\theta\) 积分，\(\theta \in [\theta_{min}, \theta_{max}]\)；\(\theta\) 的取值范围一般是常数区间，如 \([0,\dfrac{\pi}{2}]\) 或 \([0,2\pi]\) 等．

由此，例2中二重积分的计算可以化简为

\[ \begin{aligned} \iint_R (1 - x^2 - y^2) dA &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^1 (1 - r^2) r\, dr\, d\theta \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left[ \frac{r^2}{2} - \frac{r^4}{4} \right]_0^1 d\theta \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{4} d\theta \\ &= \frac{\pi}{8}. \end{aligned} \]

1.2.3 任意换元

例1：计算 \(\displaystyle\iint_R dx\, dy\)，其中 \(R\) 是椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} \le 1\) 围成的区域．

我们能很自然地想到令 \(u = \dfrac{x}{a}, v = \dfrac{y}{b}\)，则椭圆变为单位圆 \(u^2 + v^2 \le 1\)．\(dx\,dy=ab\, du\, dv\)．因此

\[ \iint_R dx\, dy = \iint_{u^2 + v^2 \le 1} ab\, du\, dv = ab \iint_{u^2 + v^2 \le 1} du\, dv = ab \cdot \pi = \pi ab. \]

当 \(x,y\) 与 \(u,v\) 之间为正比例关系时，\(dx\,dy\) 与 \(du\, dv\) 之间只相差一个比例系数；如果 \(x,y\) 与 \(u,v\) 之间的关系更复杂会怎么用？

例2：当 \(u=3x-2y,v=x+y\) 时，求 \(dx\,dy\) 与 \(du\, dv\) 之间的关系．

由于 \(u,v\) 是 \(x,y\) 的线性组合，可以将 \(u,v\) 写成矩阵形式：

\[ \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} \]

我们通过图像来观察 \(dx\,dy\) 与 \(du\, dv\) 之间的关系．根据[[#线性变换]]的知识，我们只需关注 \(\hat{i},\hat{j}\) 的变化．

\[ \begin{bmatrix}3 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}3 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-2 \\ 1 \end{bmatrix} \]

变换后面积由 \(\hat{i},\hat{j}\) 张成的单位正方形变为 \(\begin{bmatrix}3 \\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}-2 \\ 1\end{bmatrix}\) 张成的平行四边形．因此 \(du\, dv\) 与 \(dx\, dy\) 之间的关系为 \(du\, dv = \begin{vmatrix}3 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} dx\, dy = 5\, dx\, dy\)．

将其推广到一般情况：由估值公式

\[ \begin{cases} \Delta u \approx u_x \Delta x + u_y \Delta y\\ \Delta v \approx v_x \Delta x + v_y \Delta y \end{cases} \quad \mathrm{i.e.} \quad \begin{bmatrix}\Delta u \\ \Delta v \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix}u_x & u_y \\ v_x & v_y \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\Delta x \\ \Delta y \end{bmatrix} \]

取极限 \(\Delta x, \Delta y \to 0\)，得到

\[ \begin{bmatrix}du \\ dv \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}u_x & u_y \\ v_x & v_y \end{bmatrix} \begin{bmatrix}dx \\ dy \end{bmatrix} \]

定义 \(J =\dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}= \begin{vmatrix}u_x & u_y \\ v_x & v_y\end{vmatrix}\) 为变换的雅可比行列式(Jacobian determinant)．则有 \(du\, dv = |J|\, dx\, dy\)．

比如极坐标换元 \(x=r\cos\theta, y=r\sin\theta\)，则

\[ J = \dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}= \begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix} =r(\cos^2\theta+\sin^2\theta) = r \]

因此 \(dx\,dy=|J|dr\,d\theta = rdr\,d\theta\)．

1.3 应用

计算区域 \(R\) 的面积：\(\mathrm{Area}=\displaystyle\iint_R 1\, dA\)；亦或是将 \(\delta\) 视为面密度函数 \(\delta = \delta(x,y)\)，则 \(\mathrm{Mass}=\displaystyle\iint_R \delta\, dA\)．
计算给定函数在一个区域内的平均值．如 \(f\) 在区域 \(R\) 内的平均值为 \(\displaystyle\bar{f}=\dfrac{1}{\mathrm{Area}} \iint_R f\, dA\)．
计算给定函数在一个区域内密度加权平均值．如 \(f\) 在区域 \(R\) 内的密度加权平均值为 \(\displaystyle\bar{f}=\dfrac{\displaystyle\iint_R f\, \delta \, dA}{\displaystyle\iint_R\delta \, dA} =\dfrac{1}{\mathrm{Mass}} \iint_R f\, \delta \, dA\)．

典型的例子就是求质心坐标：当 \(f=x\) 时求的 \(x\) 在 \(R\) 内的密度加权平均值，即质心横坐标 \(\bar{x}\)；\(y\) 同理．

\[ \bar{x} = \dfrac{1}{\mathrm{Mass}} \iint_R x\,\delta \,dA, \quad \bar{y} = \dfrac{1}{\mathrm{Mass}} \iint_R y\, \delta \,dA. \]

计算转动惯量(Moment of Inertia)：对于一个质点，转动惯量 \(I=mr^2\)；对于有多质点的系统，\(I=\sum mr^2\)；而对于一个连续分布的系统，其本质就是求 \(r^2\) 的密度加权和，即 \(I =\displaystyle \iint_R r^2\, \delta \, dA\)．

\(I\) 可以理解为做旋转运动的惯性大小，类似于直线运动中的 \(m\)．

动能 \(E_k = \dfrac{1}{2} m v^2=\dfrac{1}{2} m\omega^2r^2 = \dfrac{1}{2}I\omega^2\)，其中 \(\omega\) 是角速度．

角动量 \(\tau = I\alpha\)，其中 \(\tau\) 是力矩，\(\alpha\) 是角加速度．这个公式类似于直线运动中的 \(F=ma\)．

例1：对于半径为 \(a\) 的圆盘 \(x^2 + y^2 \le a^2\)，其 \(\delta = 1\)，求其关于 \(z\) 轴的转动惯量 \(I_z\)．

\[ I_z = \iint_R r^2\, \delta \, dA = \iint_R r^2\, dA. \]

使用极坐标计算：

\[ I_z = \int_0^{2\pi} \int_0^a r^2 \cdot r\, dr\, d\theta = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^a r^3\, dr = 2\pi \cdot \frac{a^4}{4} = \frac{\pi a^4}{2}. \]

例2：对于半径为 \(a\) 的圆盘 \(x^2 + y^2 \le a^2\)，其 \(\delta = 1\)，求其关于圆周上某点的转动惯量 \(I\)．

不妨将该点放在原点，而将圆盘放置在 \((x-a)^2+y^2 \le a^2\)．当 \(\theta\) 固定时，\(r\) 的取值范围为 \(0 \le r \le 2a\cos{\theta}\)；\(\theta\) 的取值范围为 \(-\dfrac{\pi}{2} \le \theta \le \dfrac{\pi}{2}\)．因此

\[ \begin{aligned} I &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{2a\cos{\theta}} r^2 \cdot r\, dr\, d\theta \\ &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_0^{2a\cos{\theta}} r^3\, dr \\ &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 4a^4 \cos^4{\theta} \, d\theta \\ &= 4a^4 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \pi \\ &= \frac{3\pi a^4}{2}. \end{aligned} \]

2. 三重积分

2.1 理解

\(\displaystyle\iiint _RfdV\)，其中 \(f = f(x,y,z)\)，\(R\) 是 \(xyz\) 空间中的一个区域，\(dV\) 是体积微元．可以将 \(f\) 看作体密度，三重积分的结果就是区域 \(R\) 的总质量．

2.2 计算

2.2.1 直角坐标

\(dV = dx\, dy\, dz\)，因此三重积分可以写成

\[ \iiint_R f(x,y,z)\, dV = \iiint_R f(x,y,z)\, dx\, dy\, dz. \]

若对于给定的 \(x,y\)，\(z\) 的取值范围为 \([z_{min}, z_{max}]\)，则可以先对 \(z\) 积分将三重积分化为二重积分，再用计算二重积分的方法计算．

例：计算三重积分 \(\displaystyle\iiint_R xdV\)，其中 \(R\) 是由 \(x+y+2z=2\) 和三个坐标面围成的区域．

对于给定 \(x,y\)，\(z\) 的取值范围为 \(0 \le z \le \dfrac{2-x-y}{2}\)；对于给定的 \(x\)，\(y\) 的取值范围为 \(0 \le y \le 2-x\)；\(x\) 的取值范围为 \(0 \le x \le 2\)．因此

\[ \begin{aligned} \iiint_R xdV &= \int_0^2 \int_0^{2-x} \int_0^{\frac{2-x-y}{2}} x\, dz\, dy\, dx \\ &= \int_0^2 \int_0^{2-x} \frac{2-x-y}{2}x dy\, dx \\ &= \int_0^2 \left[\frac{x(2-x)y}{2} -\frac{xy^2}{4} \right]_0^{2-x}dx \\ &= \frac{1}{4} \int_0^2 x(2-x)^2 dx \\ &\xlongequal{区间再现}\frac{1}{4} \int_0^2 x^2(2-x) dx \\ &= \frac{1}{4}\left[ \frac{2x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_0^2 \\ &= \frac{1}{3}. \end{aligned}\]

2.2.2 柱面坐标

将 \(x,y\) 通过极坐标换元，\(z\) 保持不变，即 \(x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=z\)．则 \(dV =dS\,dz= r\, dr\, d\theta\, dz\)．因此三重积分可以写成

\[ \begin{aligned} \iiint_R f(x,y,z)\, dV &= \iiint_R f(r\cos\theta, r\sin\theta, z)\, r\, dr\, d\theta\, dz \\ &= \int_{\theta_1}^{\theta_2}\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} \int_{z_1(r,\theta)}^{z_2(r,\theta)} f(r\cos\theta, r\sin\theta, z)\, r\, dz\, dr\, d\theta \end{aligned} \]

例：计算三重积分 \(\displaystyle\iiint_R ze^{x^2+y^2}dV\)，其中 \(R\) 是由 \(z=2\) 和 \(z=\sqrt{x^2+y^2}\) 围成的区域．

对于给定的 \(x,y\)，\(z\) 的取值范围为 \(\sqrt{x^2+y^2} \le z \le 2\)，即 \(r \le z \le 2\)；区域 \(R\) 在 \(xy\) 平面上的投影是 \(x^2+y^2 \le 4\)，即 \(0 \le r \le 2\)；\(\theta\) 的取值范围为 \(0 \le \theta \le 2\pi\)．因此

\[ \begin{aligned} \iiint_R ze^{x^2+y^2}dV &= \int_0^{2\pi}d\theta \int_0^2 rdr\int_r^2 ze^{r^2} dz \\ &= \int_0^{2\pi}d\theta \int_0^2 re^{r^2} \cdot \frac{4-r^2}{2} dr \\ &=\frac{\pi}{2} \int_0^2 (4-r^2)e^{r^2} dr^2 \\ &=\frac{\pi}{2} \left[ (5-r^2)e^{r^2}\right]^2_0 \\ &= \frac{\pi}{2}(e^4 - 5). \end{aligned} \]

2.2.3 球面坐标

用 \(\rho\) 表示到原点的距离，\(\phi\) 表示与 \(z\) 轴的夹角，\(\theta\) 表示在 \(xy\) 平面上的投影与 \(x\) 轴的夹角．则

\[ \begin{cases} x = \rho\sin\phi\cos\theta \\ y = \rho\sin\phi\sin\theta \\ z = \rho\cos\phi \end{cases} \]

我们先无视球壳厚度，取球面上的一个面积微元；如图，长方形的长宽分别为 \(\rho\sin\phi\Delta\theta\) 和 \(\rho\Delta\phi\)，因此面积微元 \(\Delta S = \rho^2 \sin\phi \Delta\theta \Delta\phi\)；再考虑球壳的厚度 \(\Delta\rho\)，得到体积微元 \(dV = \rho^2 \sin\phi\, d\rho\, d\phi\, d\theta\)．

因此

\[ \displaystyle\iiint_R f(x,y,z)\, dV = \iiint_R f(\rho\sin\phi\cos\theta,\rho\sin\phi\sin\theta,\rho\cos\phi)\, \rho^2 \sin\phi\, d\rho\, d\phi\, d\theta. \]

2.3 应用

例：在原点处有一质量为 \(m\) 的质点，求其与质量分布均匀均匀球体 \(x^2+y^2+(z-a)^2 \le a^2\)，密度为 \(\delta\) 的球体的万有引力．

对于球体在 \((x,y,z)\) 处质量微元 \(\Delta M\)，其万有引力大小为 \(|\boldsymbol{F}| = \dfrac{G\Delta M m}{\rho^2}\)，方向为 \(\langle\dfrac{x,y,z}{\rho}\rangle\)，即 \(\boldsymbol{F} = \dfrac{G\Delta M m}{\rho^2}\cdot \dfrac{\langle x,y,z\rangle}{\rho} = \dfrac{G\Delta M m}{\rho^3}\langle x,y,z\rangle\)．

我们先只考虑一个分量的影响．对于 \(z\) 分量，有 \(\boldsymbol{F}_z = \dfrac{G\Delta M m}{\rho^3}z\)．又因为 \(\Delta M = \delta \Delta V\) 因此

\[ \boldsymbol{F}_z = Gm\iiint_R\frac{z}{\rho^3}\delta dV \]

用球面坐标换元得到

\[ \begin{aligned} \boldsymbol{F}_z &= Gm\iiint_R\frac{z}{\rho^3}\delta dV \\ &= Gm\iiint_R \frac{\rho\cos\phi}{\rho^3}\delta \cdot \rho^2 \sin\phi\, d\rho\, d\phi\, d\theta \\ &= Gm\iiint_R \delta \cdot \cos\phi \sin\phi \,d\rho \,d\phi\, d\theta \\ &=Gm\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos\phi \sin\phi\, d\phi \int_0^{2a\cos\phi} \delta d\rho\\ &=Gm\cdot 2\pi\cdot\delta \cdot \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos\phi \sin\phi\, d\phi \cdot \int_0^{2a\cos\phi} d\rho\\ &=4Gm\pi a\delta \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\phi \sin\phi\, d\phi\\ &=4Gm\pi a\delta \left[-\frac{\cos^3\phi}{3}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}\\ &=\frac{4Gm\pi a\delta}{3}. \end{aligned} \]

又因为 \(M=\dfrac{4}{3}\pi a^3\delta\)，所以 \(\boldsymbol{F}_z = \dfrac{GMm}{a^2}\)．而这正是质量为 \(M\) 的球体在球心处产生的万有引力大小．