向量与矩阵

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1. 向量

1.1 相关概念

既有方向又有大小的量称为向量．一般用箭头 $\vec{a}$ 或粗体 $\boldsymbol{a}$ 表示．

向量的长度称为模，用 $|\boldsymbol{a}|$ 表示．

模长为 $1$ 的向量称为单位向量，用 $\hat{\boldsymbol{a}}$ 表示．特别地，将沿 $x, y,z$ 轴正方向的单位向量记为 $\hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k}$．

在平面直角坐标系中，可以将任意向量分解为 $x\hat{\imath}+y\hat{\jmath}$ 的形式，同时可以用坐标 $\langle{x,y}\rangle$ 来表达该向量。空间直角坐标系同理。根据勾股定理，平面直角坐标系中向量模长为 $\sqrt{ x^{2}+y^{2} }$，空间直角坐标系中为 $\sqrt{ x^{2}+y^{2}+z^{2} }$．

1.2 计算

记 $\boldsymbol{u}=\langle x_{1},y_{1},z_{1}\rangle ,\boldsymbol{v}=\langle x_{2},y_{2},z_{2}\rangle ,\boldsymbol{w}=\langle x_{3},y_{3},z_{3}\rangle$．

加法：$\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}$ 表示将 $\boldsymbol{u}$ 的终止位置与 $\boldsymbol{v}$ 的起始位置连接后，由 $\boldsymbol{u}$ 的起始位置指向 $\boldsymbol{v}$ 的向量．

\[ \boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}=\langle x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2}\rangle \]

数乘：$\lambda \boldsymbol{u}$ 表示与 $\boldsymbol{u}$ 方向相同，模长为其 $\lambda$ 倍的向量．若 $\lambda < 0$，表示为反向． $$ \lambda \boldsymbol{u}=\langle \lambda x_{1},\lambda y_{1},\lambda z_{1}\rangle $$

点乘：$\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v}$ 表示两个一个向量在另一个向量上的投影与另一个向量长度的乘积． $$ \boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v} = |\boldsymbol{u}||\boldsymbol{v}| \cos{\theta} =x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2} $$ 得到的结果是一个标量．可以用点乘计算两个向量之间的夹角 $\cos{\theta}=\dfrac{\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v}}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{v}|}$．

叉乘：仅适用于三维向量计算，得到的结果是一个向量．

\[ \boldsymbol{u}\times \boldsymbol{v}= \begin{vmatrix} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \end{vmatrix} \]

通过计算，叉乘后模长为 $\pm|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{v}|\sin{\theta}$，方向垂直于 $\boldsymbol{u}$ 与 $\boldsymbol{v}$ 形成的平面，且遵守右手螺旋定则：四指弯曲，在四指螺旋方向上先经过 $\boldsymbol{u}$ 再经过 $\boldsymbol{v}$（$\boldsymbol{u}$ 与 $\boldsymbol{v}$ 夹角小于等于 $\pi$），则大拇指指向的方向为叉乘向量的方向．

由于其模长为 $\pm|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{v}|\sin{\theta}$，恰好为 $\boldsymbol{u}$ 与 $\boldsymbol{v}$ 形成的平行四边形面积，因此叉乘也多用于求面积．

混合积：仅适用于三维向量计算，得到的结果是一个标量．

\[ (\boldsymbol{u}\times \boldsymbol{v})\cdot \boldsymbol{w}=\begin{vmatrix} x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \\ x_{3} & y_{3} & z_{3} \end{vmatrix} \]

混合积的绝对值恰好是由 $\boldsymbol{u},\boldsymbol{v,\boldsymbol{w}}$ 三个向量作为邻边形成的平行六面体体积．下面给出简单证明：

设 $\boldsymbol{n}$ 是在 $\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}$ 方向上的单位向量，则有 $\boldsymbol{n} = \dfrac{\boldsymbol{u} \times\boldsymbol{v}}{|\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}|}$．则 $\boldsymbol{w}$ 在 $\boldsymbol{n}$ 上的投影长度为 $\pm|\boldsymbol{w}|\cos{\theta}=\pm|\boldsymbol{w}||\boldsymbol{n}|\cos{\theta}=\pm\boldsymbol{w}\cdot\boldsymbol{n}$．而平行六面体底面积为 $|\boldsymbol{u} \times\boldsymbol{v}|$，因此

\[ V=Sh=\pm|\boldsymbol{u} \times\boldsymbol{v}|\cdot \boldsymbol{w} \cdot\dfrac{\boldsymbol{u} \times\boldsymbol{v}}{|\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}|}=\pm(\boldsymbol{u} \times\boldsymbol{v})\cdot \boldsymbol{w}=|(\boldsymbol{u} \times\boldsymbol{v})\cdot \boldsymbol{w}| \]

2. 矩阵

2.1 相关概念

对于线性方程组

\[ \begin{cases}u_{1}=2x_{1}+3x_{2}+3x_{3} \\ u_{2}=2x_{1}+4x_{2}+5x_{3} \\ u_{3}=x_{1}+x_{2}+2x_{3}\end{cases} \]

其可以写成矩阵的形式

\[ \begin{bmatrix} 2&3&3 \\ 2&4&5 \\ 1&1&2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{bmatrix} \]

2.2 计算

对于矩阵的计算，其规则是：

$r$ 行 $s$ 列的矩阵可以和 $s$ 行 $t$ 列的矩阵相乘，得到结果为 $r$ 行 $t$ 列的矩阵．
新矩阵第 $i$ 行 $j$ 列元素为原左矩阵第 $i$ 行向量与原右矩阵第 $j$ 列向量点乘．

3. 线性变换

矩阵的本质是线性变换．对于任意平面向量，由于我们可以将其看作 $\hat{\imath}$ 与 $\hat{\jmath}$ 的线性组合，而线性变换不改变线性组合的方式，因此我们只需要对 $\hat{\imath}$ 与 $\hat{\jmath}$ 进行线性变换，就可以知道变换后任意向量的位置．

例如将平面内的点 $(x,y)$ 逆时针旋转 $90^\circ$ 会得到点$(-y,x)$，对于矩阵 $R=\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$，其满足 $R\begin{bmatrix} \hat{\imath} \\ \hat{\jmath} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -\hat{\jmath} \\ \hat{\imath} \end{bmatrix}$，因此记 $R$ 为逆时针旋转 $90^\circ$ 的变换矩阵．

对于不改变任何向量方向与模长的变换称为单位变换，其对应矩阵为单位矩阵 $\boldsymbol{I}=\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &0 &1 \end{bmatrix}$，满足 $\boldsymbol{I\begin{bmatrix} \hat{\imath} \\ \hat{\jmath} \\ \hat{k} \end{bmatrix}}=\begin{bmatrix} \hat{\imath} \\ \hat{\jmath} \\ \hat{k} \end{bmatrix}$．

如果一个方阵 $\boldsymbol{A}$ 的行列式 $\det(\mathbf{A})\neq 0$，那么 $\boldsymbol{A}$ 对应的线性变换就存在逆变换，记该逆变换矩阵为 $\boldsymbol{A^{-1}}$．进行一个变换后再进行其逆变换，等价于做了一个单位变换，亦相当于不做变换，即 $\boldsymbol{A^{-1}}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{I}$．

对于线性方程组 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{B}$，当 $\boldsymbol{A}$ 可逆时，两边同时做 $\boldsymbol{A}$ 的逆变换得到 $\boldsymbol{A^{-1}Ax=A^{-1}B}$，即 $\boldsymbol{x=A^{-1}B}$．

对于矩阵乘法与线性变换的更多视角，详见线性代数．

4. 点、线、面方程

4.1 平面方程

对于一个平面而言，与其平行的方向有无数个，而其法向量方向仅有 $2$ 个，因此我们习惯于用法向量作为平面最大的特征．

当法向量给定后，平面的方向确定，此时平面只有一个自由度，即其与原点的相对位置。若此时给定一个平面上的点，即可确定这个平面．

对于法向量 $\boldsymbol{N}=\langle a,b,c)$与定点 $P_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$，任取平面上不与 $P_{0}$ 重合的一点 $P(x,y,z)$，有

\[ \overrightarrow{P_{0}P}\cdot \boldsymbol{N}=0 \]

即平面方程

\[ a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(y-y_{0})=0 \]

相反的，对于平面

\[ ax+by+cz=d \]

我们也可以得到其法向量为 $\boldsymbol{N}=\langle a,b,c\rangle$．

4.2 直线方程

对于一个直线而言，其方向只有两个，所以选取直线的方向与直线上一点就可以确定这个平面．

不妨直线上两点 $Q_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0}),Q_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$．对于直线上任意一点 $Q(x,y,z)$，必定有

\[ \overrightarrow{Q_{0}Q}=t\overrightarrow{Q_{0}Q_{1}} \quad t\in \mathbb{R} \]

则有

\[ \begin{cases} x(t)=x_{0}+(x_{1}-x_{0})t \\ y(t)=y_{0}+(y_{1}-y_{0})t \\ z(t)=z_{0}+(z_{1}-z_{0})t \end{cases} \]

其中 $t$ 是参数，方向向量 $\boldsymbol{v}=\langle x_{1}-x_{0},y_{1}-y_{0},z_{1}-z_{0}\rangle$．

4.3 质点运动学

对于平面或空间内的一个质点，若其坐标可被参数化（即可被写成关于 $t$ 的参数方程，在坐标系中可以看作是沿某曲线运动），那么该质点的位置、轨迹可以完全由 $t$ 决定，定义位置向量 $\boldsymbol{r}(t)$，可以构建出质点运动学体系．

位置向量：$\boldsymbol{r}(t)=x(t)\hat{\imath}+y(t)\hat{\jmath}+z(t)\hat{k}=\langle x(t),y(t),z(t)\rangle$

速度向量：$\boldsymbol{v}(t)=\dfrac{d\boldsymbol{r}}{dt}=\langle \dfrac{dx}{dt},\dfrac{dy}{dt},\dfrac{dz}{dt}\rangle=\langle x'(t),y'(t),z'(t)\rangle$ 表示在 $t$ 处的速度

加速度向量：$\boldsymbol{a}(t)=\dfrac{d\boldsymbol{v}}{dt}$ 表示在 $t$ 处的加速度

单位切向量：${\hat T}=\dfrac{\boldsymbol{v}}{|\boldsymbol{v}|}=\dfrac{d\boldsymbol{r}}{ds}$ 表示在某点处速度方向

当 $\Delta t \to 0$ 时，向量可近似看作单位方向向量与向量模长的乘积，因此有

速率：$\boldsymbol{|v|}=\dfrac{ds}{dt}$

弧长与位移关系：$d\boldsymbol{r}=ds\cdot\hat{T}$

两边同时除以 $dt$，得到

速度与速率关系：$\boldsymbol{v}=\boldsymbol{|v|\cdot}\hat{T}$

注意：$\dfrac{d\boldsymbol{v}}{dt} \neq\dfrac{d\boldsymbol{|v|}}{dt}$，前者是加速度 $\boldsymbol{a}$，表示速度的变化率，是矢量；后者是切向加速度 $\boldsymbol{a_{T}}$，表示速率的变化率，是标量．