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电路与电子学基础

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概要

  • 时间：2025-2026春夏学期
  • 学分：2
  • 授课老师：魏翼飞
  • 教材：简明电路与电子学基础，北京邮电大学出版社

1. 电路基础

1.1 记忆内容（直接背）

集总参数电路：当实际电路的尺寸远小于其最高工作频率对应波长 \(\lambda=c/f\) 时，可以视为集总参数电路．反之则为分布参数电路．

电路的对偶特性：

  • 元件对偶：电阻与电导，电感与电容，理想电压源与理想电流源．
  • 电路结构对偶：节点与回路、开路与短路，串联与并联，非理想电压源模型与非理想电流源模型．
  • 电路定理定律对偶：KCL 与 KVL，戴维南定理与诺顿定理．

1.2 电路分析中的基本变量

电流：\(i=\dfrac{dq}{dt}\)，需要定义电流参考方向，实际电流方向与参考方向一致为正，反之为负 ．

电压：\(u=\dfrac{dw}{dq}\)，需要定义电压参考方向，高电位写 \(+\)，低电位写 \(-\)，或者写 \(u_ab\) 默认 \(a\) 高 \(b\) 低，实际高低电位与参考方向一致为正，反之为负．

若电流参考方向与电压一致（从 \(+\) 流向 \(-\)），则称关联参考方向，反之非关联参考方向．

功率：\(p=u\cdot i\)​，直接把数据带入（正负号也带入），若为非关联参考方向再加个负号．最后计算结果为正代表吸收功率，为负代表供出功率．

电阻：同高中电阻，非关联参考方向 \(u=-R\cdot i\)．

电导：电阻倒数，单位西门子（\(S\)）．

1.3 电路名词

支路：电流大小一样算作同一支路．

节点：支路与支路的连接点．直接找三线交汇的点，将重复的点（电位相等的点）保留一个即可．

回路：闭合路径．

网孔：内部不能再分出回路的回路．

二端网络：与外电路只有两个端钮连接的网络整体．

单口网络：其实就是二端网络．如果端口内只含有电阻、受控源，称为无源单口网络．

1.4 基尔霍夫定律

基尔霍夫电流定律（KCL）：对象为结点，流入结点的电流减去流出的电流等于0．直接按照这么写，方便后续节点电压法的列式．

基尔霍夫电压定律（KVL）：对象为回路，任意找一个电压源，从其负极开始，往其正极方向进行绕圈，电压升高写左边（遇到电压源的负极），电压降低写右边（遇到电压源的正极）．遇到电阻，看经过它的电流参考方向与绕圈方向，一致为降低电压写右边，不一致为升高电压写左边．

2. 电源及其等效

2.1 电源

理想电源 电压源：两端的电压为定值 电流源：穿过其的支路电流为定值
独立电源 image-20260325162211080 image-20260325162655438
受控电源 image-20260325162716767 image-20260325162728116

受控电源：其电压/电流的值为电路中某一个电压/电流的倍数．注意看其上方的电压/电流编号并在电路图中找出．

注意：是电压源还是电流源只与其图形有关而与控制其的变量无关，他们均可以被电压/电流控制，不用管量纲直接相乘即可．

例

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\[ i_{2}=\dfrac{4.9V}{5\Omega}=0.98A \]

由于经过受控电流源为 \(0.98i\)，而 \(i_{2}\) 也经过它，因此

\[ 0.98i=i_{2},i=1A \]

实际电压源：看作是理想电压源串联电阻 \(R_{s}\)​．

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实际电流源：看作是理想电流源并联电阻 \(R_{s}\)．

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2.2 等效

等效：对外等效，对内不等效，不能用等效后的电路求内部元件的参数．

电阻等效：同高中串并联公式

无源单口网络等效：若无受控源，则同电阻等效；有受控源时，给单口网络外施电压 \(u\)，设法求出端口电流 \(i\)，可等效为 \(R=\dfrac{u}{i}\)．注意，含有受控源的网络求出的等效电阻可能是负数．

电源等效：

  • 电压源串联：代数和，可以用KVL中的方法，找一个负极往正极走，遇到负极加上其电压值，遇到正极减去．
  • 电压源并联：只有电压一样才能并联，总电压即为那个相同的电压值．
  • 电流源串联：只有电流一样才能串联．
  • 电流源并联：代数和，注意参考方向．
  • 电压源与二端网络并联/电流源与二端网络串联：当作其不存在
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  • 实际电压源与实际电流源的等效替换：电阻串改并，并改串；注意方向不要变，此时电流方向为电压的负 \(\to\) 正方向．
    • 电压 \(\to\) 电流：电流大小 \(i_{s}=\dfrac{u_{s}}{R_{s}}\)．
    • 电流 \(\to\) 电压：电压大小 \(u_{s}=i_{s}R_{s}\)．
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受控电源的等效也要乘以或除以 \(R_{s}\)．

3. 电路分析方法

3.1 网孔电流法

上课没讲，应该不考，略．

3.2 节点电压法

以该题为例：

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先对电路进行处理：

  1. 支路为电流源与电阻串联，列方程时忽视该电阻．在上题中，将 \(R_{3}\) 忽视．
  2. 支路为电压源与电阻串联，将其等效为电流源与电阻并联．在上题中，将 \(u_{s2}\) 与 \(R_{2}\) 视为 \(i_{s2}\) 与 \(R_{2}\) 并联．（此时不用管与电流源并联的电阻的分流作用，直接用电流源连接的节点计算即可，因为那个电阻的分流作用已经在等式左边写出）

  3. 支路为理想电压源而无电阻，直接设出该支路的电流并当作电流源电流对待，再用该理想电压源两端的电压关系再列一个方程．在上题中，设流经 \(U_{s1}\) 的电流为 \(i_{1}\)，方向向上；流经 \(U_{s5}\) 的电流为 \(i_{2}\)，方向向左；

    或者：选择合适的参考节点，使得无阻电压源成为一个已知节点电位．

  4. 将受控源当作独立源列方程，同时对控制其的电压/电流参数列个方程．在上题中，需要对 \(u_{0}\) 列一个方程．

自电导：与当前结点直接连接的电导总和．

互电导：与某一个结点之间的电导．

显然，自电导= \(\sum\) 互电导．

选节点：找出电路所有节点，设其中一个节点为参考节点（接地），然后对其他节点列方程（列其他节点的方程时要考虑参考节点，即自电导如果有和参考节点连接要加上，但由于参考节点电压为 \(0\)，因此没有参考节点的互电导项）．

列方程：

\[ \begin{aligned} 当前节点的电压 \times 自电导 -\sum 其他节点电压 \times 互电导 = \\流入的电流源电流 - 流出的电流源电流 \end{aligned} \]
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对节点 \(1\)，与其有互电导的为：节点 \(2\)，节点 \(3\)（等效为电流源并联 \(R_{2}\)）．流入的电流源为 \(i_{1}\) 与 \(\dfrac{U_{s2}}{R_{2}}\)，无流出，因此方程为

\[ \left( \dfrac{1}{R_{2}}+\dfrac{1}{R_{4}} \right)u_{1}'-\left(\dfrac{1}{R_{4}}\right)u_{2}'-\left(\dfrac{1}{R_{2}}\right)u_{3}'=i_{1}+\dfrac{U_{s2}}{R_{2}} \]

同理可得节点 \(2,3\) 的方程

\[ \begin{aligned} -\left( \dfrac{1}{R_{4}} \right)u_{1}'+ \left( \dfrac{1}{R_{4}}+\dfrac{1}{R_{6}} \right)u_{2}'=\dfrac{2u_{0}}{R_{6}}+i_{2} \\ -\left( \dfrac{1}{R_{2}} \right)u_{1}'+\dfrac{1}{R_{2}}u_{3}'=-\dfrac{U_{s2}}{R_{2}}-i_{2}-i_{s3} \end{aligned} \]

接下来我们补齐在步骤 \(3,4\) 额外添加的方程：

  • 理想电压源 \(U_{s1}\) 关系：\(u_{1}'=U_{s1}\)
  • 理想电压源 \(U_{s5}\) 关系：\(u_2'-u_3'=U_{s5}\)
  • 受控源参数 \(u_{0}\) 关系：\(u_{1}'-u_{2}'=u_{0}\)

共有 \(u_{1}',u_{2}',u_{3}',u_{0},i_{1},i_{2}\) 六个未知数，有六个方程，可解．

补充

步骤 \(3\) ：“选择合适的参考节点，使得无阻电压源成为一个已知节点电位”，本题可以选择对 \(U_{s1}\) 的处理用该方法，而对 \(U_{s5}\) 的处理用设电流的方法．

此时就不用列出节点 \(1\) 的方程，我们也就不需要知道节点 \(1\) 的流入电流了．方程减少了两个，但未知数也减少了两个（\(u_{1}',i_{1}\)），仍然是可解的．

4. 电路分析基本定理

4.1 叠加定理

线性电路中任一元件的电压/电流可以看作每一个独立电源单独作用时在该元件产生的电压/电流．

步骤
  1. 对每一个独立电源，让其单独作用而将其他独立电源置零（电压源短路，电流源断路，可以看作是把他们的圈去掉，这样电压源剩下一根导线，电流源剩下断路）．受控电源不受影响．
  2. 叠加时，尽量将分量的方向与原来总电压/电流的方向保持一致，这样可以直接相加不用考虑正负号．
  3. 叠加定理不能计算功率．

4.2 替代定理

上课没讲，略．

4.3 戴维南定理

线性含源单口网络对外可等效为理想电压源 \(u_{oc}\) 与电阻 \(R_{eq}\) 的串联组合．该等效电路称为戴维南等效电路．

电阻 \(R_{eq}\)：除去独立电源（电压源短路，电流源断路）后网络的等效电阻．

电压 \(u_{oc}\)：即为端口的开路电压（注意方向）．

简单的例子：

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线性含源单口网络的化简：

  • 求电压 \(u_{oc}\)：

    1. 先看是否存在电压源并联二端网络与电流源串联二端网络，如果有直接将其删去．
    2. 使用实际电压源与实际电流源之间的等效关系化简．
    3. 根据化简完的电路，使用之前的方法（如KVL、节点电压）计算开路电压．

  • 求电阻 \(R_{eq}\)（注意要用原图求，而不是上一步化简完的电路）：

    • 法一：除去独立电源，使用无源单口网络等效方法计算．
    • 法二：将端口用导线连接，计算出导线上的一个短路电流 \(i_{sc}\)（与计算出的开路电压同向），计算 \(R_{0}=\dfrac{u_{oc}}{i_{sc}}\)．

4.4 诺顿定理

戴维南最后的结果是电压源串联电阻，诺顿最后的结果是电流源并联电阻，而电压源串联电阻与电流源并联电阻本身就可以等效．实际上上述的短路电流法就是诺顿定理的内容．

4.5 最大功率传输定理

高中知识，连接有源单口网络两端的负载电阻在阻值等于 \(R_{eq}\) 时，其获得的功率最大，为 \(P_{max}=\dfrac{u_{oc}^{2}}{4R_{eq}}\)​．

5. 动态电路时域分析

此处讨论的均为一阶动态电路，即只有一个动态元件的直流电路．

5.1 动态元件

电容：电流是电压的微分 \(i_{c}(t)=C\dfrac{du_{c}(t)}{dt}\)，电压是电流的积分 \(u_{c}(t)=\displaystyle\dfrac{1}{C}\int_{-\infty}^{t}i_{c}(t)dt\).

  • 记忆特性：\(u_{c}(t)=\displaystyle u_{c}(t_{0)}+\dfrac{1}{C}\int_{t_{0}}^{t}i_{c}(t)dt\)

  • 储能特性：\(W(t)=\dfrac{1}{2}Cu^{2}_{c}t\)．

  • 串并联：与电阻串并联公式相反．

电感：电压是电流的微分 \(u_{L}(t)=C\dfrac{di_{L}(t)}{dt}\)，电流是电压的积分 \(i_{L}(t)=\displaystyle\dfrac{1}{L}\int_{-\infty}^{t}u_{L}(t)dt\).

  • 记忆特性：\(i_{L}(t)=\displaystyle i_{L}(t_{0)}+\dfrac{1}{L}\int_{t_{0}}^{t}u_{L}(t)dt\)

  • 储能特性：\(W(t)=\dfrac{1}{2}Li^{2}_{L}t\)．

  • 串并联：与电阻串并联公式相同．

5.2 换路定则

直流稳态：直流电路中各个元件上的电压和电流都不随着时间变化．

换路：电路由一种工作状态变化到另外一种工作状态．

状态变量：电容电压与电感电流．

进入直流稳态后，分析电路：电容当作断路，电感当作短路．以此计算电容两端电压 \(u_{c}(0^{-})\) 与流经电感电流 \(i_{L}(0^{-})\)．

换路定则：由于状态变量是积分结果，无法突变，因此 \(u_{c}(0^{-})=u_{c}(0^{+})\)，\(i_{L}(0^{-})=i_{L}(0^{+})\)．求 \(t(0^{+})\) 时的电路状态，将电容看作大小为 \(u_{c}(0^{-})\) 的电压源，电感看作大小为 \(i_{L}(0^{-})\) 的电流源．

例题

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5.3 零输入响应

电路无外加激励（无独立电源），仅由动态元件的非零初始状态引起的响应（只考虑电容电感放电）称为零输入相应（zir）．

将电路等效为电容/电感连接等效电阻 \(R_{eq}\)（就是戴维南的 \(R_{eq}\)），求时间常数 \(\tau =RC\)（电容）或 \(\tau=\dfrac{L}{R}\)（电感），则任意量的零输入响应都可以写成

\[ y(t)=y(0^{+})e^{-\frac{1}{\tau}t} \quad t\geq 0^{+} \]

\(\tau\) 的单位是秒，常取 \(t=(3\sim 5)\tau\) 作为放电完毕所需时间．\(\tau\) 越大放电越慢．

例题

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5.4 零状态响应

在零初始状态下，仅由外加激励源产生的响应（电容电感充电过程）称为零状态响应（zsr）．

零状态响应并不是任意量都能写成同一公式，只有状态变量可以写成

\[ \begin{cases} u_{c}(t)=u_{c}(\infty)(1-e^{-\frac{1}{\tau}t}) \\ i_{L}(t)=i_{L}(\infty)(1-e^{-\frac{1}{\tau}t}) \end{cases} \]

的形式，其余变量需要根据电压电流关系推导．

充电过程中，等效电阻损耗的能量与电容/电感的储能一样，充电效率为 \(50\%\)．

与放电一样，\(\tau\) 越大充电越慢．

例题

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5.5 全响应

全响应 = 零输入响应（忽略电源）+ 零状态响应（忽略初始储能）．

此时公式为

\[ \begin{aligned} y(t)&=y_{z.i.r}(t)+y_{z.s.r}(t)\\ &=y(0^+)e^{-\frac{1}{\tau}t}+y(\infty)(1-e^{-\frac{1}{\tau}t}) \end{aligned} \]

或使用三要素法（对非状态变量也适用）：只需要知道代求量的初始值、稳态值、时间常数，即可得到

\[ y(t)=y(\infty) + [y(0^+)-y(\infty)]e^{-\frac{1}{\tau}t} \]

6. 正弦稳态电路分析

  1. 时域 \(\to\) 频域
    • 正弦电压 \(U\)、电流 \(I\) \(\to\) 相量
    • 电路元件 \(R\)、\(L\)、\(C\) \(\to\) 阻抗
    • 分析方法 KCL、KVL \(\to\) 频域中相量形式
  2. 建立相量形式的电路方程并求解
  3. 根据题目要求，将相量解转化成时域解

易错点：时域频域转换时忘记是最大值还是有效值，多/少乘除了 \(\sqrt2\)．

6.1 正弦电压电流的相量表示

频率相同时，正弦电压电流均可以由最大值/有效值 + 初相位一一对应．对应到的相量是一个复数，其可以写成极坐标形式（也就是下方默认形式），也可以写成直角坐标形式（实部 + 虚部）．

\[ \begin{aligned} i(t)&=I_m\cos(\omega t+\varphi_i) \quad \longrightarrow \quad \dot{I}=I\angle\varphi_i \ \text{或}\ \dot{I}_m=I_m\angle\varphi_i \\[6pt] u(t)&=U_m\cos(\omega t+\varphi_u) \quad \longrightarrow \quad \dot{U}=U\angle\varphi_u \ \text{或}\ \dot{U}_m=U_m\angle\varphi_u \end{aligned} \]

标有下标 \(m\) 的是最大值，反之为有效值．正弦电压电流满足 \(y_m=\sqrt2 y\)．

6.2 分析方法的相量形式

KCL、KVL：全部换成相量，仍然满足原定律．

正弦时域电压电流求和：先转化成相量直角坐标形式，相加后再转回时域形式．

6.3 电路元件UI关系的向量形式

6.3.1 电阻

\(\dot{U}=R\dot{I}\)，\(\phi_u=\phi_i\)．即满足欧姆定律，且 \(u(t)\) 与 \(i(t)\) 同相．

6.3.2 电容

时域中：

\[ \begin{aligned} u(t)&=\sqrt{2}U\cos(\omega t+\varphi_u) \\[6pt] i(t)&=C\frac{du(t)}{dt} \\[6pt] &=-\sqrt{2}U\omega C\sin(\omega t+\varphi_u) \\[6pt] &=\sqrt{2}U\omega C\cos(\omega t+\varphi_u+90^\circ) \\[6pt] &=\sqrt{2}I\cos(\omega t+\varphi_i) \end{aligned} \]

\(I=\omega CU\)，\(\phi_i=\phi_u+90^\circ\)．

频域中：\(\dot{I}=jwC\dot{U}\)，电容电流超前电容电压 \(90^\circ\)．

6.3.3 电感

同理，\(\dot{U}=jwL\dot{I}\)，电感电压超前电感电流 \(90^\circ\)．

6.3.4 阻抗与导纳

阻抗 \(Z\) 定义为电压相量与电流相量的比值（但是其不是相量）：

\[ Z=\dfrac{\dot{U}}{\dot{I}}= \begin{cases} \text{电阻}\quad R \\ \text{电感}\quad j\omega L \\ \text{电阻}\quad \frac{1}{j\omega C} =-j\frac{1}{\omega C} \end{cases} \]

阻抗 \(Z\) 单位均为 \(R\)．得到欧姆定律相量形式 \(\dot{U}=Z\dot{I}\)​．

阻抗可能为复数 \(Z=R+jX=R+j(X_L+X_C)=R+j(\omega L-\frac{1}{\omega C})\)．

  • \(X=0\)：电阻性；
  • \(X>0\)：\(X_L>X_C\)，电感性；
  • \(X<0\)：\(X_C>X_L\)，电容性．

导纳 \(Y\) 定义为阻抗的倒数．

6.4 电路分析方法

戴维南定理、诺顿定理：电压电流均换为相量，电阻换为阻抗，计算过程相同．

最后得到的等效电路，元件可能会出现电容、电感．

6.5 功率

6.5.1 瞬时功率

\(p(t)=u(t)i(t)=UI\cos\phi+UI\cos(2\omega t+\phi)\)，其中 \(\phi=\phi_u-\phi_i\)．

6.5.2 平均功率（有功功率）

\(P=\displaystyle\frac{1}{T}\int_0^Tp(t)dt=UI\cos\phi\)．

令 \(\lambda=\cos\phi\) 称为功率因数，\(\phi\) 功率因数角，如果是无源单口网络也有 \(\phi=\phi_Z\)（有源不适用）．

  • 当单口为电阻时，\(P=UI\)；
  • 当单口为电感/电容时，\(P=0\)．

有功功率看作是真正能消耗能量的功率：电阻能消耗能量，电感、电容不产生也不消耗能量，只是储能元件．

6.5.3 无功功率

\(Q=UI\sin \phi\)．

  • 当单口为电阻时，\(Q=0\)；
  • 当单口为电感时，\(Q=UI > 0\)；
  • 当单口为电容时，\(Q=-UI < 0\)．

6.5.4 视在功率

\(S=UI\)，为电压、电流有效值的乘积．

功率三角形

\(S=UI\)，\(P=UI\cos\phi\)，\(Q=UI\sin\phi\)，\(S=\sqrt{P^2+Q^2}\)．

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6.5.5 最大功率传输

复阻抗负载：当负载 \(Z_L\) 为内阻抗 \(Z_S\) 共轭时，负载获得最大功率．即 \(Z_L=R_S-jX_S\)（共轭匹配）．

电阻负载：当负载 \(R_L\) 与内阻抗模相等时获得最大功率，即 \(R_L=\sqrt{R_S^2+X_S^2}\)​（等模匹配）．

最大功率为 \(\dfrac{U^2}{4R_S}\)．

6.6 RLC电路的谐振

Def. 电容 \(L\) 和电感 \(C\) 的无功效应刚好抵消，含电容电感的二端网络呈现出纯电阻性．

谐振时，电流电压同相、功率系数为 1．

6.6.1 串联谐振

串联时总阻抗

\[ Z=R+\dfrac{1}{j\omega C}+j\omega L=R \]

即 \(\omega L=\dfrac{1}{\omega C}\)，当

\[ \omega=\omega_0 =\dfrac{1}{\sqrt{LC}} \]

时串联谐振，对应

\[ f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]

此时虚部为 0，总阻抗最小，\(I=\dfrac{U}{R}\) 电流最大．

虽然总电压不一定很大，电感和电容两端的电压可能很大，局部形成高压；因为谐振时 \(U_L\) 和 \(U_C\) 大小相等、相位相反，对外互相抵消．

6.6.2 并联谐振

并联时总导纳

\[ Y=\dfrac{1}{R}+j\omega C+\dfrac{1}{j\omega L}=\dfrac{1}{R} \]

仍然有

\[ \omega=\omega_0 =\dfrac{1}{\sqrt{LC}} \]

此时虚部为 0，总导纳最小、阻抗最大，电流最小．

同理虽然外部输入电流小，但电感支路和电容支路中的电流可能很大．